Die Paradoxa des Zenon von Elea

Von Anton Smetana

Zenon von Elea, man billigt kein eigenstaendiges Lehrgebaeude zu, denn die Theorie der Logik entwickelte erst Aristoteles. Seine Paradoxa sind kritisch und destruktiv, haben aber einen immens philosophischen Gehalt und machen ihn daher zu einem der grossen Vorsokratiker.

Inhaltsverzeichnis

• 1. Die Vorsokratiker - ein kurzer Überblick
• 2. Kurzbiographie: Zenon von Elea
• 3. Die Vier Paradoxa:
  a) Dichotomie (Halbierung)
  b) Achilles und die Schildkröte
  c) Fliegender Pfeil
  d) Reihen in Bewegung
• 4. Das Quanten - Zenon - Paradoxon
• 5. Bemerkungen
• 6. Quellenangabe

1. Die Vorsokratiker - ein kurzer Überblick

"Immer wieder hat der griechische Polytheismus zu neuen Strukturbildungen eingeladen: in der Philosophie zur Bezeichnung von Gegensätzen oder zur Verdeutlichung der Zahlen-, Figuren und Aspektlehre."
(Wolfgang Hübner, Die Dodekatropos des Manilius)

Die Vorsokratiker [1] gelten als Begründer der griechischen Philosophie und gaben somit dem europäischen Denken die erste Gestalt, indem sie es vom religiös-mythischen Bezug ablösten. Wir verdanken ihnen die Begriffe des Seins, des Stoffes, der Unendlichkeit, der Zahlen, der Bewegung, der Zeit, des Raumes und entscheidende Grundlagen bezüglich Gott (Theologie), dem Seienden an sich (Ontologie), dem menschlichen (Anthropologie) und dem außermenschlich Seiendem (Naturphilosophie). "In all history, nothing is so surpassing or so difficult to account for as the sudden rise of the civilization in Greece. [..] What they achieved in art and literature is familiar to everybody, but what they did in the purely intellectual realm is even more exceptional."
(Bertrand Russel, History of the western philosophy)

Die meisten Vorsokratiker waren ebenfalls Physiker und / oder Astronomen. So berichtet der Historiker Herodot Thales von Milet habe die Sonnenfinsternis anno 585 v. Chr. seinen Zeitgenossen vorausgesagt. Der unmathematischer Wirrkopf Philalaos, der seinen Sinnen mißtraute, setzte die Erde in Bewegung. Einen sehr wichtigen Platz in der Betrachtungen der Vorsokratiker nimmt die Entstehung der Welt aus der Ursubstanz oder dem Urelement ein. So entstand laut Thales die Welt aus Wasser [2], laut Anaximenes aus dem Unendlichen (apeiron), der Luft, und laut Heraklit aus Feuer.

Man unterscheidet die Vertreter der älteren ionischen Naturphilosophie, die Schule von Pythagoras, die Eleaten, die Philosophie Heraklits und die jüngere Naturphilosophie, zu denen der Atomismus gehört (einzelne Vertreter siehe Tabelle: Überblick zu den vorsokratischen Schulen). Die "Geburtsstunde" der Vorsokratiker ist in den griechischen Städten Ioniens zu finden. Die Gründung der ionischen Schule durch Thales von Milet [3] wird als der Beginn der vorsokratischen Philosophie angesehen. Die Vorgänge der Natur versuchte Thales mittels rationaler Begründung, dem Logos, zu erklären. Dieser Bruch zum überlieferten Mythos weist ihm die Stellung des Archegeten der griechischen und somit europäischen Philosophie zu.

Xenophanes ist der Begründer der Eleaten (Elea ist ein kleine Stadt in Süditalien) und soll Schüler von Anaximder gewesen sein. Somit setzt die Schule und Tradition der Eleaten Lehren der ionischen Schule fort. Die Philosophie von Xenophanes ist sowohl Theologie mit einer starken Auseinandersetzung und Kritik des nicht zuletzt von Homer und Hesiod überlieferten Götterglauben, als auch eine skeptische Erkenntnistheorie. Entgegen der überlieferten anthropomorphistischen Mythologie entwickelte er in seinen Elegien und Spottgedichten ein pantheistisches Gottesbild, demzufolge Gott ein allesdurchwaltender Geist sei (Monotheismus). Darauf basierend stellt Parmenides die Frage zwischen dem Verhältnis von Denken und Sein: "Das Denken und Sein ist eins." Somit bezeichnet man Parmenides als den Begründer der Ontologie. Das wahre Sein (Eon), die Wirklichkeit, ist unvergänglich, ewig, unteilbar und unbeweglich. Nichts, was ist, kann entstehen oder vergehen ins Nichts. Daher sind kein Wechsel oder Bewegung möglich. Zenon von Elea, seinen Schüler, betrachten wir im nächsten Kapitel noch näher.

"Der Krieg ist der Vater aller Dinge."; "Niemand kann zweimal in denselben Fluß steigen." (Heraklit, Fragmente)

Heraklit lehrt die Veränderlichkeit des Seins, "alles fließt - panta rhei". Zu den jüngeren Naturphilosophen gehören Empedokles, Anaxogaras und die Vertretern des Atomismus an. Empedokles setzt sich für einen theologischen Pluralismus ein und sieht in den vier Elementen den Urgrund aller Dinge.

Der Begründer des Atomismus Leukipp wurde vermutlich in Milet geboren und wanderte später nach Elea aus, wo er als Schüler von Zenon die Seinslehre von Parmenides kennenlernte. Aristoteles bezeugt ihn als den Begründer der Atomtheorie und Demokrit als seinen Schüler. Dessen Theorie verdrängte seines Lehrers Lehren. Später wurden beide in einem Atemzug genannt und die Werke von Leukipp wurden Demokrit zugeschrieben. Der Atomismus führt alles Geschehen auf Mischung und Entmischung der Atome, die kleinsten Teile der Materie, zurück. Ihr Materialismus ist streng deterministisch.

2. Kurzbiographie: Zenon von Elea

Sehr wenig, ähnlich wie bei Parmenides, ist über das Leben von Zenon von Elea bekannt. Unumstritten ist sein Status als vorsokratischer Philosoph. Angeblich gilt er als Sohn von Teleutagoras. Leider ist keines seiner Werke ("Über die Natur", "Grammatik" [5]) erhalten. Die Hauptquelle zu Zenon stellt der "Parmenides Dialog" von Platon dar. Aristoteles nennt ihn den Erfinder der Dialektik[6]. Der Stoiker Zenon, der Jüngere hat die Tätigkeiten der Dialektiker und Rhetoren durch ein lebendiges Bild dargestellt: "Der Rhetor spendet mit offener Hand, der Dialektiker kämpft mit geballter Faust." Weitere Details finden sich bei Diogenes Laertius, Proclus und Simplicius. Proclus erwähnt, daß Zenons Werk aus insgesamt 40 Paradoxa, wovon etwa 10 sich erhalten haben, besteht. Vier davon werden wir näher begutachten (Dichotomie, Achilles, Pfeil, Reihen), denn diese Paradoxa hatten entscheidenden Einfluß auf die Entwicklung der Mathematik. Aristoteles in seiner "Physik" und viel später Bertrand Russel in "Der Philosophie des Abendlandes" beziehen sich auf eben diese Paradoxa:

"In this capricious world nothing is more capricious than posthumous fame. One of the most notable victims of posterity's lack of judgement is the Eleatic Zeno. Having invented four arguments all immeasurably subtle and profound, the grossness of subsequent philosophers pronounced him to be a mere ingenious juggler, and his arguments to be one and all sophisms. After two thousand years of continual refutation, these sophisms were reinstated, and made the foundation of a mathematical renaissance ...."

Zenon war ein Schüler, Freund und Nachfolger von Parminendes. Platon erzählt von einer gemeinsamen Reise nach Athen, wo ein Treffen mit Sokrates stattgefunden haben soll. Zenon hatte bereits dank seines Werkes, das die Paradoxa enthielt, Ruhm erlangt. Laut Diogenes soll Zenon bei einem mißglückten Aufstand gegen einen Tyrannen den Tod gefunden haben. Diese Überlieferung wird meistens als unverläßlich eingestuft.

Noch Bertrand Russel sieht die Kunstgriffe von Zenon als Verteidigung der Ontologie von Parmenides an. Inzwischen ist man aber bereit, ihm eine weit unabhängigere Position zuzuschreiben, da einige seiner Argumente die eleatische Lehre in Schwierigkeiten bringt. Zudem ist sein Interesse an Metaphysik gering. Allerdings billigt man ihm kein eigenständiges Lehrgebäude zu, denn die Theorie der Logik entwickelte erst Aristoteles. Seine Paradoxa sind kritisch und destruktiv, haben aber einen immens philosophischen Gehalt und machen ihn daher zu einem der großen Vorsokratiker.

3. Zenons Paradoxa

Paradoxon stammt ethymologisch vom altgriechischen Wort "das Unerwartete" ab. Es ist eine der allgemeinen Meinung entgegengesetzte Aussage. In der Physik bezeichnet man mit Paradoxon gerne Ergebnisse von Gedankenspielen, die unerwartet den physikalischen Gesetzen - scheinbar oder auch tatsächlich - widersprechen.

a) Dichotomie (Halbierung)

Als bekanntestes und eindruckvollstes Paradoxon von Zenon gilt die Dichotomie. Das amüsante Ergebnis dieses Paradoxon wäre laut Zenon, daß keine Strecke zu überwinden sei. Will man eine Distanz überwinden, muß erst der halbe Weg zurückgelegt werden, anschließend die nächste Hälfte und so fort. Setzt man die Distanz mit eins an, erhält man folgende Reihe: ½ + ¼ + 1/8; + ... Man gelangt nie am Ziel an, denn es bleibt immer noch ein Rest zu gehen.

Die Konvergenz dieser obigen Reihe ist natürlich eins. Man nimmt aber nicht an, daß Zenon dieses Resultat nicht kannte, sondern versucht vielmehr seinen Argumente logisch zu entgegnen. Zenons These zeigen die Schwierigkeiten des Gedanken eines Kontinuums, das aus getrennten Teilen zusammengesetzt ist. Aristoteles nahm diese Argumente ernst und entwickelte eine eigene Theorie des Kontinuums.

Die Möglichkeit der unendlichfachen Teilbarkeit einer Strecke wird nur von wenigen Logikern und Philosophen (David Hume) bestritten. Laut Immanuel Kant sind Zeit und Raum Anschauungsformen unserer Wahrnehmung a priori, das heißt, sobald wir uns Menschen unendliche Große oder infinitesimal kleine Strecken vorstellen, verstricken wir uns in unlösbare Widersprüche. Dagegen sagt Paul Valéry, Zenon von Elea kommentierend aus: "Man kann von Hälfte sprechen, erst nachdem man das Ganze betrachtet, das heißt überschritten hat. Um die Bewegung im Ansatz zu verhindern, teilt oder setzt man sie. Den Raum zu überwinden erfordert nur eine Bewegung". Hegel wies auf folgendes Wahrnehmungsproblem hin. Sobald wir eine Hälfte uns vorstellen, haben wir bereits das Ganze betrachtet.[7] Da wir quasi die erste Hälfte der Strecke überwinden können, werden wir auch das Ganze an sich überschreiten. Somit ist die Fragestellung des Pardoxon bereits widersprüchlich und kann somit nur zu widersprüchlichen Resultaten führen.

Vielmehr versuchten Logiker, das zweite Argument von Zenon zu entkräftigen. Allerdings stellte erst die Infinitesimalrechnung den mathematischen Rahmen bereit, in dem Zenons Problem befriedigend lösbar ist. Zenon von Eleas Schwierigkeiten ergaben sich aus dem Versuch, Kontinuierliches aus unendlich vielen kleinen Teilen zusammengesetzt zu denken. So sind selbst die kleinste Teile der Reihe kleiner Null und werden in Summe am Ende von unendlich vielen, auch wenn infestimalen Schritten, sicherlich 1 ergeben. Es ergibt sich für jeden immer kleineren Abschnitt die Möglichkeit, ihn in immer kleineren Zeiten zu durchlaufen. Somit ist die gewollte Distanz überschritten.

b) Achilles und die Schildkröte

Achilles und die Schildkröte ist auch als Stadium - Paradoxon bekannt und erweist sich bei näherer Betrachtung als eine plastische Version der Dichotomie. Zusätzlich zur Teilung der Bewegung des Einzelnen erhält man hier eine sogenannte Relativbewegung durch die beiden Konkurrenten Achilles und die Schildkröte.

Die Schildkröte hat beim Wettlauf Achilles gegenüber einen Vorsprung. Zenon behauptet der schnellfüßige Achilles könnte diesen Rückstand auch einer Schildkröte gegenüber niemals aufholen. Sobald Achilles seinen Rückstand der Schildkröte gegenüber aufgeholt hätte, wäre die Schildkröte immer noch ein Stück weiter. Achilles hätte also diese weitere neu von der Schildkröte inzwischen überwundene Strecke noch vor sich und immer so fort.

Dieses Paradoxon läßt sich analog zu dem der Dichotomie lösen.

c) Der fliegende Pfeil

"Der fliegende Pfeil ruht. Denn falls etwas ruht, wenn es einen ihm selbst entsprechenden Raum einnimmt, und wenn etwas Fliegendes jederzeit einen ihm selbst entsprechenden Raum einnimmt, dann kann es sich nicht bewegen." (Aristoteles, Physik)

Da der Pfeil in jedem Augenblick dort ist, wo er sich gerade befindet, ist der Pfeil auf seinem Fluge immer im Zustand der Ruhe. Er bewegt sich daher nicht. Daher ist Bewegung eine Illusion. [8]

Heraklit und Bergson erklären, es gäbe den dynamischen Flug, jedoch keinen Pfeil, den man momentan statisch einfrieren könne. Die Sinnlosigkeit dieser Auffassung beruht laut Edmund Russel lediglich auf Heraklits und Bergsons Formulierung: Bewegung besteht aus sich Bewegendem, aber nicht aus Bewegungen. Aristoteles fand auf die Frage, wie es möglich sei, daß sich etwas bewege und trotzdem einen fixen Platz einnehme eine quantenmechanische Antwort: Es sei nicht möglich [9].

d) Reihen

Im Paradoxon von den Reihen in Bewegung treten drei Reihen auf: AAAA, BBBB und CCCC. Diese drei Reihen bestehen aus Körpern mit unteilbaren Raumatomen. A ruht währenddessen B und C sich in gleicher Geschwindigkeit in entgegengesetzter Richtung bewegen. Die Reihen B und C bewegen sich von der selben Entfernung von zwei Seiten an der Reihe A vorbei.

Die Reihe B benötigt einen unteilbaren Augenblick, um die Reihe A zu passieren; aber da BBBB und CCCC AAAA gleichzeitig passieren, passieren sie auch einander. Daher bedarf die Reihe B zweier Augenblicke, um an zwei Reihen A und C vorbeizukommen. Das gesamte obige Manöver dauert somit zwei Augenblicke. Zenon setzt folglich einen einzigen Augenblick mit seinem Doppelten gleich. Alternativ kann man die benötigte Zeit, den Augenblick, in zwei teilen. Allerdings setzt man in diesem Fall einen halben Augenblick mit einem ganzen gleich.

Der Widerspruch entsteht hier durch die Relativität der Bewegung, der zwei Reihen B und C zur feststehenden Reihe A. Dieses Paradoxon ist daher verhältnismäßig einfach aufzulösen.

4. Das Quanten - Zenon - Paradoxon

Die direkte Folgerung aus dem Pfeil - Paradoxon, daß keine Bewegung möglich wäre, wurde auch quantenmechanisch umgesetzt. EC George Sidarshan and Baidyanaith Misra von der "University of Texas" publizierten 1977 einen Aufsatz unter dem Titel "Quantum Zeno Effect". Das Quanten Zenon Paradoxon (auch unter "a watched pot never boils" bekannt) ist eine direkte Folgerung aus Postulaten der Quantenmechanik.

Das Zenon - Paradoxon bezieht sich auf ein Teilchen, das sich in einem unstabilen Zustand befindet. Würde man radioaktive Teilchen kontinuierlich messen, könnten sie nicht zerfallen. Dies wäre ein interessanter Effekt. Der Zenon - Effekt wurde in den letzten Jahren sowohl experimentell nachgewiesen als auch theoretisch bekämpft.

Vor der Messung hat ein Teilchen eine gewisse Wahrscheinlichkeit, sich an einem beliebigen Ort oder Energiezustand im Bereich seiner Wellenfunktion zu finden. Sobald eine Messung - Anwendung eines Projektionsoperators - an einem quantenmechanischen Zustand durchgeführt wird, kollabiert die Wellenfunktion. Das heißt, es entsteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, kurze Zeit nach der Messung dieses Teilchen am selben Ort oder im selben Energiezustand wiederzufinden.

Der Quanten - Zenon - Effekt ergibt sich als direkte Konsequenz aus dem Kollaps der Wellenfunktion. Unter der idealisierten Annahme von "Instant - Messungen" wird ein quantenmechanisches System in sehr kurzen zeitlichen Abständen zahlreichen Messungen ausgesetzt. Seine zeitliche Entwicklung wird dadurch behindert und im Grenzwert kontinuierlicher Beobachtung sogar gänzlich unterdrückt: Das System wird in seinem Anfangszustand "eingefroren", obwohl es, wenn man es sich selbst überließe, in einen anderen Zustand übergehen würde. Das heißt "umgangssprachlich", die Dynamik eines Subsystems würde drastisch verlangsamt werden.

Nun, der Quanten - Zenon - Effekt hat inzwischen erste experimentelle Versuche angeregt: Ein Experiment [10] nützt den Übergang von Energiezuständen Laser - gekühlter 9Be+ Ionen. Die experimentellen Ergebnissdaten sind den theoretischen Berechnungen sehr nahe und würden somit die Resultate der Theorie bestätigen.

Allerdings erhoben sich auch kritische Stimmen [11]. Ihr Hauptargument bezieht sich auf die Unschärferelation von Heisenberg. Messungen in sehr kurzer Zeit würden die Energien derart anwachsen oder mindern lassen, daß die gemessenen Teilchen zerstört würden. Sind die Meßintervalle dagegen in zu langen Abständen angesetzt, behaupten diese Wissenschaftler die Existenz eines Anti - Zenon - Effektes. Dieser würde im Gegenteil den radioaktiven Zerfall beschleunigen. Somit gäbe es obig besagtes Quanten - Zenon - Paradoxon nicht. Im besten Fall würde man das unerwünschte Gegenteil erreichen, und im schlimmsten die Zerstörung des beobachteten Teilchen.

Bisher gibt es für obige Theorie keinen experimentellen Beleg. Es ist daher noch völlig offen, ob schnelle Beobachtung Teilchen einfriert oder zerstört.

5. Bemerkungen:

[1] Vorsokratiker ist die zusammenfassende Bezeichnung für die griechischen Philosophen vor Sokrates.

[2] Thales von Milet hat, wie Pythagoras, keine schriftliche Werke hinterlassen. Welche Aussagen und mathematischen Sätze (Satz von Thales) auf ihn persönlich zurückgehen, läßt sich nicht klären. So soll sein geometrischer Lehrsatz bereits den Babyloniern bekannt gewesen sein. Hinter einem dichten Schleier von Anekdoten zeichnen sich nur die Umrisse seiner Gestalt ab. Er gehört seit dem 5 Jahrhundert zu dem Ersten der Sieben Weisen.

[3] Dieser Gedanke findet sich erstmals schriftlich bei Aristoteles, "Metaphysik". Eine genaue Betrachtung dieser und der diesbezüglichen Stellen auch bei Herodot läßt Zweifel aufkommen, ob Thales einen derartigen Versuch einer systematischen Weltdarstellung versucht hatte.

[4] Die Vertreter des Atomismus, Demokrit und Leukipp, werden auch der ionischen Schule und Tradition hinzugerechnet.

[5] Die Titel sind alles andere als gesichert. Sicher ist lediglich sein Werk zu den Paradoxa, daher geht man vielerorts nur von einem geschriebenen Buch aus.

[6] Die Dialektik, die einen Teil der Philosophie darstellt, bildet mit Grammatik und Rhetorik ein Trivium. Manchmal bildet sie den Gipfel der sprachlichen Wissenschaften. Wolfgang Hübner Die Begriffe "Astrologie" und "Astronomie" in der Antike, Wortgeschichte und Wissenschaftssystematik mit einer Hypothese zum Terminus "Quadrivium"

[7] Wir bräuchten somit nur unsere zu überwindende Strecke als die erste Hälfte definieren und hätten sie bereits überschritten....

[8] Es gibt keinen Beweis, daß Zenon von Elea dieser Theorie selbst anhing. Wie wir bereits sahen spielte sie aber bei seinem Lehrer Parmenides eine große Rolle.

[9] Die Unschärferelation von Heisenberg besagt, daß man von einem quantenmechanischen Teilchen nicht gleichzeitig Ort und Geschwindigkeit (Impuls) messen kann.

[10] Im Oktober 1989 haben Itano, Heinzen, Bollinger and Wineland die Ergebnisse zu ihrem Experiment publiziert.

[11] Siehe die Arbeiten von Gershon Kurizki und Abraham Kofman vom "Weizmann Institut".

6. Quellenangabe

B. Misra and E. C. G. Sudarshan, The Zeno´s paradox in quantum theory, Journal of Mathematical Physics, Vol. 18, No. 4, April 1977.
Paul Feyerabend, Wider dem Methodenzwang, Frankfurt am Main, 1999, Suhrkamp. Andrew Hamilton, The Quantum Zeno Effekt, http://cordes.phys.dal.ca/Classes/3140/projects/aajhamilton/
Wolfgang Hübner, Die Begriffe "Astrologie" und "Astronomie" in der Antike, Wortgeschichte und Wissenschaftssystematik mit einer Hypothese zum Terminus "Quadrivium", Akademie der Wissenschaften und der Literatur, Mainz, Abhandlungen der Geistes- und Sozialwissenschaftlichen Klasse, Jahrgang 1989, Nr. 7.
- Die Dodekatropos des Manilius, Akademie der Wissenschaften und der Literatur, Mainz, Abhandlungen der Geistes- und Sozialwissenschaftlichen Klasse, Jahrgang 1995, Nr. 6. Immanuel Kant, Werke in sechs Bänden, Bd. II, Kritik des reinen Vernunft, Wiesbaden, Insel Verlag, 1956, S. 71-83.
P. Kwiat, H. Weinfurter und A. Zeilinger, Wechselwirkungsfreie Quantenmessung, Spektrum der Wissenschaft, Januar 1997.
Philosophen Lexikon, Von den Vorsokratikern bis zu den neuen Philosophen, Stuttgart, 1995, Metzler Verlag.
Bertrand Russel, Philosophie des Abendlandes, Ihr Zusammenhang mit der politschen und der sozialen Entwicklung, Wien, 1983, Europa Verlag.
- History of Western Philosophy, and its Connection with Political and Social Circumstances from the Earliest Times to the Present Day, London, 1955, George Allen and Unwin Ltd..
Paul Valéry, Cahiers, Paris, 1973, Bd. 1, S. 510.

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